Os desafios matemáticos de Marcelo Viana

O matemático Marcelo Viana fala no domingo (30), no Palco da Praça d’A Feira do Livro 2024, de curiosidades que estão em seu recém-lançado Histórias da matemática: da contagem dos dedos à inteligência artificial (Tinta-da-China Brasil, 2024). No clima do Almanaque d’A Feira , ele propôs alguns desafios aos leitores. Tente resolvê-los com ajuda de amigos e da família. E, no fim deste texto, confira as soluções.

1. Num programa de auditório há três portas, e por trás de uma delas está um carro. Se a querida leitora acertar qual, leva o possante pra casa. Cada porta tem uma dica: a porta 1 diz “está aqui”, a 2 diz “não está aqui”, e a 3 diz “não está na porta 1”. O problema é que só uma das dicas é verdadeira. Onde está o carro?

2. O rei de Bem Longe gosta tanto de suas filhas que decide que será melhor para o reino que haja mais mulheres do que homens. Então, decreta que todos os casais devem continuar tendo filhos até que nasça uma menina. Mas logo, preocupado com o excesso de população, determina que todo casal pare de procriar logo que tiver uma filha. As probabilidades de nascimento dos dois sexos são iguais. O rei vai conseguir o objetivo? Qual será a proporção de mulheres em Bem Longe após essas leis?

3. O felizardo leitor herda da tia-avó Joana cinco correntes, formadas, cada uma, por quatro elos de ouro maciço. Logo lhe ocorre que, juntas, elas fariam um belo colar de presente para a sua senhora. O ourives cobra 100 reais por elo que tiver que quebrar para fazer a junção. Quanto vai custar o trabalho?

4. O carioca Joãozinho é o xodó das duas avós. O problema é que elas moram em outros estados. Para resolver a disputa, ele propõe o seguinte: todo fim de semana, irá para a rodoviária num horário ao acaso e pegará o primeiro ônibus disponível para a cidade de uma das avós. Se for para Minas, ele vai visitar a vó Maria; se for para São Paulo, a vó Vera. Os ônibus saem pontualmente a cada vinte minutos em ambas as direções. Mas depois de um tempo, vó Maria começa a reclamar que só vê o netinho num fim de semana em cada cinco. O que está acontecendo?

Agora veja as soluções de Marcelo Viana:

1.
Se estivesse na porta 1, então a primeira dica seria verdadeira e a segunda também, o que vai contra a informação de que só uma das dicas é verdadeira.
Se estivesse na porta 3, a segunda dica seria verdadeira e a terceira também, o que vai de novo contra a informação dada.
Portanto, tem que estar na porta 2: a terceira dica é verdadeira e as demais são falsas.

2.
Representemos por N o número de casais. 
Como o gênero das crianças é aleatório, para N/2 casais a primeira criança é menina (esses param de ter filhos) e para os outros N/2  é menino.
Estes últimos partem para uma segunda criança: para a metade, ou seja N/4 casais, essa segunda criança é menina (param aí) e para os outros N/4 é menino.
Estes últimos partem para uma terceira criança: para a metade, ou seja N/8 casais, essa segunda criança é menina (param aí) e para os outros N/8 é menino.
E assim sucessivamente. Então, o número total de meninas é N/2+N/4+N/8+N/16 + …. que é igual a N (trata-se da soma de uma progressão geométrica).
Quanto ao número de meninos: temos N/4 casas com 1 menino (e uma menina), N/8 com 2 meninos (e uma menina), N/16 com 3 meninos (e 1 menina) etc.
Agora os meninos.
Para N/2 a primeira criança é menino.
Para N/4 casais a segunda criança é menino.
Para N/8 casais a terceira criança é menino.
E assim sucessivamente.
Então o número de meninos  N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + … que também é igual a N.
Ou seja: nascem tantos meninos quanto meninas! A política do rei é totalmente inócua…

3.
Se quebrar um elo em cada corrente, para ligá-la a outra, são cinco elos e o custo é 500 reais.
Mas há uma solução mais econômica: quebrar os quatro elos de uma das correntes e usá-los para ligar as demais correntes. Custo: 400 reais. 
Não existe solução mais barata.

4.
Sabemos que os ônibus saem nas duas direções a cada vinte minutos, mas não está dito que saem ao mesmo tempo.
Como o horário de chegada do Joãozinho à rodoviária é aleatório, a probabilidade dele pegar o ônibus para São Paulo ou para Minas Gerais depende apenas do tempo de espera para cada um desses estados (o intervalo de tempo depois que o ônibus para o outro estado saiu).
Se ele está pegando menos vezes o ônibus para Minas, é porque o tempo de espera para lá é menor do que o tempo de espera para São Paulo.
Por exemplo, pode ser que os horários sejam assim:
MG: 10h
SP: 10h16 
MG: 10h20
SP: 10h36
MG: 10h40 
SP: 10h56
MG: 11h
O tempo de espera para cada ônibus para São Paulo é de dezesseis minutos, enquanto que o tempo de espera para cada ônibus para Minas Gerais é de apenas quatro minutos.
Joãozinho só visita a vó Maria se chegar à rodoviária no intervalinho entre 10h16 e 10h20, ou 10h36 e 10h40 etc. Já para visitar a vó Vera ele tem intervalos de chance de dezesseis minutos, ou seja, quatro vezes maiores.