As infinitas confissões de π

Sou o 73, orgulhoso integrante da família dos números primos, aqueles que só se deixam dividir por 1 e por si mesmos. Meu querido e inseparável amigo, o número π, me honrou com o convite para tecer algumas palavras sobre o livro dele — escrito em primeira pessoa, com a intimidade de quem confidencia segredos milenares. Muitos volumes já contaram sua história, mas este é o primeiro que ele assina com a própria caligrafia infinita: uma autobiografia. 

Quem imaginaria que π, o mais enigmático dos números, também nutria alma de poeta? Com graça sutil e delicadeza quase musical, π nos guia pelos corredores de sua longa existência, sempre rodeado por outros tantos incríveis companheiros numéricos.

No princípio, ele se descobriu presente em todas as circunferências, mais precisamente como a constante de proporcionalidade entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro, resultando sempre em um número pouco maior do que 3. Mas o que parecia só um fato de natureza geométrica foi ganhando contornos mais amplos, com π nos contando sobre suas relações com fórmulas da matemática e das ciências, como as que mantém com a curva de Gauss, na estatística, ou com a fórmula da terceira lei do movimento dos planetas de Kepler, na astronomia.

Como ele narra, não foi fácil se descobrir como um número irracional, o que significa que não há sequer uma fração com números inteiros que consiga expressar todas as suas infinitas casas decimais não periódicas. E não foram poucas as pessoas que se interessaram pelas inúmeras questões formuladas em torno de π.

O atual recorde mundial de casas decimais do meu amigo é de mais de 100 trilhões de dígitos

Arquimedes, talvez o maior matemático da antiguidade clássica, foi dos primeiros a investigar a sua natureza. Mesmo concluindo não haver uma fração que representasse precisamente π, Arquimedes utilizava nos seus cálculos de áreas e volumes a fração 22/7 como uma boa aproximação. Os babilônios usavam 25/8, os egípcios 256/81, os chineses 355/113 — todas boas aproximações, mas nenhuma exatamente igual a π. A irracionalidade o coloca em um seleto grupo de números, como √2 e ∛2, que também não podem ser escritos como frações com números inteiros. 

A natureza irracional de π só foi demonstrada no século 18, pelo matemático Johann Lambert, e esse nem foi o maior dos choques pelos quais meu pobre amigo passou. No século seguinte, o matemático Ferdinand von Lindemann provou que π também era um número transcendente — ou seja, não algébrico, as duas categorias que se aplicam a qualquer número. 

Natureza irracional

Eu, o 73, sou um número algébrico porque sou solução da equação x – 73 = 0, uma equação algébrica com coeficientes inteiros, assim como também são algébricos meus amigos 2/3, √2 e ∛2 — soluções de equações de coeficientes inteiros 3x – 2 = 0, x² – 2 = 0 e x³ – 2 = 0, respectivamente. Ocorre que alguns números, como π e o também estranho e (número de Euler), não são algébricos porque já se demonstrou não haver equações algébricas, nas condições dadas, para as quais esses números sejam soluções.

Números que não são algébricos são chamados de transcendentes, e não costuma ser tarefa simples demonstrar essa característica. Meu amigo π sofreu até compreender sua natureza irracional e transcendente, e me alegro por ele ter finalmente se animado em contar sua fascinante história neste delicioso relato.

Suficientemente acessível e cheia de outras histórias, a narrativa de π é engrandecedora ao dar um gosto dos problemas que atormentaram alguns dos maiores matemáticos que já existiram. Um deles, o problema dos algoritmos de cálculo das aproximações decimais cada vez melhores de π: 3,1415926535… O desafio começou com caráter profundamente geométrico com Arquimedes e matemáticos da antiga Pérsia, Egito, Índia e China e, ao longo dos séculos, adquiriu formas algébricas e analíticas com o aprofundamento do estudo das séries numéricas. 

É fascinante saber que meu amigo π pode ser calculado, com aproximações tão boas quanto se queira, por diferentes séries numéricas (as somas de infinitos números). Por exemplo, a série 4 – 4/3 + 4/5 – 4/7 + 4/9 – 4/11 + … converge para o valor de π, assim como a dos irmãos Chudnovsky que, inspirada em ideias do matemático indiano Ramanujan, é amplamente utilizada nos programas de computador para encontrar novos recordes de casas decimais de π. Para se ter uma ideia, o atual recorde mundial de casas decimais do meu amigo é de mais de 100 trilhões de dígitos, e na autobiografia π não se furta em instigar sobre segredos que suas infinitas casas decimais podem conter.

Ao decidir contar sua história, também deve ter sido difícil para π determinar quais números participariam da narrativa. As escolhas certamente foram pautadas pela fama de alguns e pela pertinência de outros em estabelecer amarras. Fato é que os principais convidados foram muito bem escolhidos e didaticamente apresentados. Comparecem na jornada de π a razão áurea (φ), o número de Liouville (L) e o número de Galois (G). 

A respeito de φ, π não se cansa de mencionar sua elegância e vaidade, já que o número mantém relação íntima com proporções na arquitetura e na natureza. Em relação a L, o leitor apreciará a ideia de que alguns números são artificialmente criados pelos matemáticos para demonstrar algum resultado. Quanto a G, meu amigo não poupa elogios, uma vez que está por trás de um dos mais importantes desenvolvimentos da álgebra moderna e, estranhamente, só pode ser escrito por meio de uma equação.

No ar

Diferentemente do que diz o senso comum, a matemática está bem longe de ter soluções para todos os problemas que formula. A autobiografia de π é inspiradora por mostrar que ainda existem inúmeras perguntas em aberto sobre ele e outros assuntos. Delicadamente, π convida o leitor a apreciar a busca por respostas mais do que qualquer vislumbre imediato das suas aplicações práticas. 

Uma dessas incógnitas da matemática é: está demonstrado que π e e são números irracionais, porém ainda não está provado nem se π + e nem se πe são irracionais ou racionais. Serem irracionais não garante que sua soma e que seu produto também sejam irracionais, como há infinitos exemplos de números irracionais cuja soma ou produto é racional. Quer um exemplo, não é? Lá vai: (3 + √2) e (3 – √2) são dois números irracionais, sendo que sua soma é igual a 6 e seu produto igual a 7, ambos números racionais. No relato, o leitor ainda é brindado com duas fascinantes demonstrações da irracionalidade e da transcendência de alguns números nas páginas 75 e 112.

Agora, se π é esse número tão estranho, cuja representação decimal possui infinitas casas, será que podemos usar suas casas decimais como uma sequência de números aleatórios? A resposta não é tão simples, como ele sugere ao apresentar um último problema ainda sem solução: não sabemos demonstrar, apesar dos fortes indícios, que a distribuição dos dígitos 0, 1, 2, 3… nas casas decimais de π siga a frequência compatível com a aleatoriedade esperada.

Meu amigo não cita, mas o nome dos números irracionais cuja distribuição dos algarismos nas casas decimais segue o padrão esperado de aleatoriedade é número normal. Achei prudente π não ter mencionado esse termo. Ele, irracional e transcendente, terá ainda que encarar bons anos de divã até que possa se considerar um número normal.

Alter ego

Mahsa Allahbakhshi, Andrés Navas e Verena Rodríguez, autores de Pi: uma autobiografia infinita, foram muito felizes na construção do alter ego de π. O texto é envolvente e acessível ao grande público. Saí dele com tanta intimidade com π que até mobilizei meu alter ego 73 no exercício da escrita desta resenha. A saber, o número 73 é citado por Sheldon Cooper, personagem da série The Big Bang Theory, como o “melhor dos números porque é o 21º número primo, e seu reverso, 37, é 12º, cujo reverso é 21”. 

O que parecia ser mais uma das idiossincrasias de Cooper no décimo episódio da quarta temporada da série chamou a atenção de uma dupla de matemáticos que, em 2015, publicou um artigo demonstrando que 73 é o único número primo menor do que 10¹⁰, com as propriedades estabelecidas pelo personagem. Em teoria dos números, é razoavelmente frequente que os primeiros passos de uma demonstração ocorram pela validação da conjectura investigada em certo intervalo, o que pode abrir portas para futuras generalizações. 

Em 2019, os matemáticos Carl Pomerance e Chris Spicer demonstraram de forma definitiva que 73 é o único número primo nas condições propostas por Cooper em todo o universo dos números naturais. Desde então, 73 passou a ser meu amuleto numérico, pois reflete a paixão de boa parte dos matemáticos por algo que tem mais a ver com a brincadeira e a poesia do que com as aplicações práticas do conhecimento.