Matemática (até) para quem é de humanas

Quem ainda acha que livro de matemática é só para gente de exatas pode se surpreender com as Histórias da matemática: da contagem nos dedos à inteligência artificial, de Marcelo Viana, que acaba de chegar às livrarias pela Tinta-da-China-Brasil, selo editorial da Associação Quatro Cinco Um. 

Em linguagem saborosa, muito humor e histórias fascinantes, o autor discorre sobre problemas importantes da matemática, desvendando para o leitor não apenas a relevância da disciplina, mas também seu encanto — que vai de Pitágoras e os cálculos em Alexandria à bola de futebol da Copa do Mundo.

Vencedor do prêmio Louis D. em 2017, principal reconhecimento científico da França e um dos mais prestigiosos do mundo, o matemático, cronista e diretor-geral do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) apresenta pensadores, problemas famosos, teorias e curiosidades ligadas ao mundo dos números. 

Nas 256 páginas do ensaio, Viana leva os leitores pela mão ao narrar as muitas histórias dessa ciência, a começar pela descoberta dos números no capítulo “A matemática dos bichos”. Leia um trecho a seguir. 

Trecho de ‘Histórias da matemática: da contagem nos dedos à inteligência artificial’

Um fazendeiro estava determinado a matar um corvo que fizera o ninho numa torre da sua casa. O problema é que, cada vez que entrava na torre, o pássaro fugia, ficava observando e só voltava depois que o homem saía da torre. O fazendeiro recorreu a um estratagema: dois homens entraram juntos na torre e apenas um saiu. Mas o pássaro não se deixou enganar: só voltou ao ninho depois que o segundo homem saiu. Nos dias seguintes, eles repetiram o truque, sucessivamente com dois, três e até quatro homens, mas sempre sem sucesso. Por fim, entraram cinco homens na torre e saíram quatro. Dessa vez deu certo: incapaz de distinguir entre quatro e cinco, o corvo voltou para o ninho. Quem conta esse episódio é o historiador da matemática Tobias Dantzig (1884‑1956), no grande clássico. Número, a linguagem da ciência, publicado pela primeira vez em 1930. Não é um caso raro: estudos realizados nas últimas décadas indicam que o sentido do número está amplamente distribuído no reino animal, mesmo entre espécies com cérebros rudimentares. Muitos insetos, peixes, aves e mamíferos têm um sentido aproximado do número, que lhes permite escolher rapidamente entre dois grupos (de animais, de alimentos etc.) com tamanhos diferentes. O peixe‑mosquito, por exemplo, usa esse sentido para sempre se juntar ao maior cardume disponível, o que lhe oferece mais proteção contra predadores. Diante de fontes de alimento variadas, ratos usam a mesma capacidade para escolher a maior.

A vantagem para a sobrevivência é clara. Outras espécies têm um sentido mais apurado, que distingue entre números individuais. A minúscula rã‑túngara da América Central, com apenas três centímetros, é um exemplo espetacular. O macho passa horas lançando a potenciais namoradas chamados característicos que sempre terminam com um estalido. Mas quando escuta o apelo de um rival ele sobe a parada: faz um novo chamado, desta vez terminando com dois estalidos! O outro responde do mesmo jeito. E o duelo continua, com número crescente de estalidos, até que um deles perca o fôlego, o que costuma acontecer por volta dos seis ou sete estalidos. É um jogo caro, tamanha a energia que os machos precisam despender, e perigoso: toda essa cantoria também atrai predadores… Mas eles não têm opção, porque as moças túngaras estão escutando (e contando!), e sempre escolhem os rapazes que fazem mais estalidos. Chimpanzés são particularmente dotados para os números. Sabemos que podem ser ensinados a identificar grupos de objetos com o respectivo numeral escrito como algarismo árabe — três círculos com o algarismo 3, cinco quadrados com o algarismo 5 etc. —, e até a deixar esses algarismos em ordem. Na Universidade de Kyoto, no Japão, fizeram um experimento. Algarismos de 1 a 9 foram exibidos numa tela durante 210 milissegundos (a duração de um piscar de olhos médio) e logo eram ocultados por quadrados brancos. Todos os jovens chimpanzés participantes foram capazes de tocar nesses quadrados sequencialmente, na ordem crescente dos algarismos! Não vale a pena tentar fazer isso em casa: humanos não conseguem!

Parece que, nos 6 milhões de anos desde que o Homo sapiens se separou do chimpanzé, nosso cérebro evoluiu de modo diferente: perdemos a incrível memória numérica dos nossos primos mais chegados, mas talvez esse tenha sido o preço a pagar para descobrirmos o teorema de Pitágoras.

Aliás, nosso sentido do número não é muito mais desenvolvido do que o de outras espécies: tal como o corvo mencionado por Dantzig, a maioria de nós não consegue distinguir números maiores do que 4 “no olho”, ou seja, sem contar. Justamente, a técnica da contagem é a grande descoberta da humanidade para lidar com os números de modo muito mais potente do que qualquer outra espécie.

Ninguém sabe bem quando, como, nem por que começamos a contar. Nem sequer sabemos se começamos a fazê‑lo em números cardinais (1, 2, 3…) ou ordinais (1o, 2o, 3o…). Alguns antropólogos têm sugerido que a principal motivação para a descoberta da contagem estaria nos rituais religiosos. Como eles precisavam ser executados em ordem bem definida, isso teria conduzido a humanidade a contar em números ordinais.

A hipótese da contagem em cardinais é mais popular entre os especialistas. Motivada por necessidades práticas, a humanidade teria sido levada a representar certos objetos (ovelhas, pessoas, mercadorias…) por meio de outros objetos(pedras, entalhes em pedaços de madeira, nós em cordas…). Até o dia em que alguém percebeu — e isso provavelmente se repetiu em inúmeros locais e civilizações — que existe algo em comum entre “duas ovelhas” e “duas pedras”, que é o conceito abstrato de “dois”. Nesse dia nasceu o conceito de número.

Foi muito lento. “Muitas eras devem ter passado antes que o homem descobrisse que um casal de pássaros e um par de dias são, ambos, ocorrências do número 2”, ponderou o filósofo Bertrand Russell (1872‑1970). Mais do que qualquer outra coisa, foram nossos dedos que contribuíram para essa construção abstrata do número. “É à possibilidade de articular os dez dedos que a humanidade deve o seu êxito no cálculo”, escreveu Dantzig.

Vestígios disso estão presentes em muitos idiomas. Por exemplo, em português e outras línguas usamos “dígito” (“dedo”, em latim) como sinônimo de algarismo. Mas o indício mais notável da origem anatômica do número está no fato de quase toda a humanidade usar o sistema decimal de numeração.

É um sistema posicional em que o valor de cada “dígito” depende de sua posição. Por exemplo, em 3333 o 3 da direita vale 3 mesmo, o próximo vale 30 = 3 ×10, o seguinte, 300 = 3 ×10² e o da esquerda, 3000 = 3 ×10³. Por que usamos 10, e não outro número, como base desse sistema de numeração? Simplesmente porque temos dez dedos nas mãos e, desde tempos imemoriais, nós os usamos para contar.

Mas a humanidade experimentou outras bases. Alguns povos antigos da Oceania usaram a base 5. Talvez contassem com uma só mão, usando a outra como indicador, enquanto seguravam a arma debaixo do braço? Na base 5, há apenas cinco dígitos (0 a 4) e, por exemplo, 3333 representa o número 3 + 3 × 5 + 3 × 5² + 3 × 5³, ou seja, 468 na base 10. Os símbolos V= 5, L= 50 e D = 500, na numeração romana, sinalizam um uso antigo da base 5.

A linguagem dos nativos das ilhas do estreito de Torres, na Austrália,sugere um sistema de base 2: urapun significa 1, okosa significa 2, e então okosa‑urapun é 3 e okosa‑okosa é 4. Certas línguas da Amazônia brasileira, da África e da Austrália usam construções idênticas.

Outros povos, em todos os continentes, usaram a base 20. Presumivelmente, contavam também com os dedos dos pés… Existem vestígios em línguas como o francês (80 é quatre‑vingts) e o inglês (three score ou 3‑score significa 60). Já os babilônios criaram um sistema posicional de base 60. Devemos a eles a divisão da hora em 60 minutos e do minuto em 60 segundos.

Para quem está habituado ao sistema decimal, bases maiores do que 10 apresentam um inconveniente: é necessário inventar símbolos para os dígitos acima de 9. Na base 16, muito utilizada em programação, são usadas letras: A = 10,B = 11,C = 12,D = 13,E =14 e F = 15.

Algumas línguas preservam vestígios do período anterior à consolidação do número abstrato. No idioma das ilhas Fiji, a palavra para 10 é koro se estivermos falando de cocos e bolo se o assunto for barcos. E o povo Tauade, da Nova Guiné, usa palavras diferentes para falar de pares de machos, pares de fêmeas e pares mistos. Talvez seja por isso que, em português, falamos de“rebanho de ovelhas”, mas nunca de “rebanho de lobos”?

O fato de termos duas mãos e dois olhos certamente facilitou o acesso ao conceito abstrato de número 2 (o 1 é um caso à parte: os próprios gregos da era clássica não consideravam que 1 fosse número!). Mas a passagem aos números maiores é muito mais recente do que se imagina.

Na língua dos sumérios, o povo da Mesopotâmia que inventou a escrita 5 mil anos atrás, a palavra e s significa tanto “três” quanto “muitos”. Certas línguas africanas que sobreviveram até os nossos dias têm palavras apenas para “um”, “dois” e “muitos”. A palavra inglesa thrice pode significar “três vezes” ou “muitos”. Em francês, a semelhança entre trois, três, e très, muito, também pode ser um indício semelhante de um estágio primitivo da técnica da contagem.

O famoso matemático e economista norte‑americano David Gale (1921‑‑2008) conta em um dos seus artigos a seguinte história, que afirma ser verdadeira — e eu acredito. Era uma vez uma menininha de três anos chamada Clara, que tinha acabado de aprender a contar. Ela conseguia contar as cadeiras da sala e os degraus da escada. Um dia o pai decidiu testá‑la.“Filha, aqui estão quatro pirulitos para você.” Mas só entregou três. Clara pegou os pirulitos e contou obediente: “Um, dois, quatro”. Mas então, confusa: “Cadê o terceiro, papai?”.